Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Предел последовательностиЗаданы вещ-ые числа, пронум-е опр-ым образом: т.е. х1 - имеет номер 1, х2 - номер 2 и т.д. это наз. числовой послед-ю: х1, х2,…,хn, … Числа сост-е послед-ть, наз-т ее членами. Числ послед-ть считается заданной, если указано правило или закон, с пом-ю которого по номеру места в послед-ти всегда м/о назвать число, стоящее на этом месте. О: послед-ть – это ф-ия натур-го аргумента. an=f(n). an=1/n. Обл опр-я ф-и – мн-во натур-х чисел. О: число А наз пределом числ послед-ти an при неогр-м возраст номера n (n®¥), если для произв-го сколь угодно малого полож-го числа действ-го e, найдется такое натур число N, что для всех номеров n>N знач-я соотв-х членов числ послед-ти удовл-т нерав-у: |an-A|<e; .
Св-ва: 1. Если переменная имеет предел, то он ед-й. Перем-я не м иметь 2-х различн пред-в. Док-во: допустим противное. Пусть хn имеет два предела: limxn=a и limxn=b, где a¹b. Для опред-ти a<b. Возьмем число r (a<r<b). Т.к. xn®a, a<r, то по т. (если перем-я хn имеет пределом а, и а меньше некот-го числа с, то знач-я этой перем-й, начиная с некот-го n, будут также меньше этого числа с) найдется такое натур Na, что xn<r для всех знач-й n>Na. Т.к. xn®b, b>r, то по т. (если переменная хn имеет пределом а, и а больше некот-го числа b, то знач-я этой перем-й, начиная с некот-го n, будут также больше этого числа b) найдется натур-е число Nb, что xn>r для всех значений n>Nb. Получили нерав-ва: xn<r для n>Na; xn>r для n>Nb. Если же теперь взять за N наиб из чисел Na и Nb, то очев, что для всех знач n>N выпол-ся одновр-но оба нерав-ва, что невозможно. Получили противоречие. 2. если имеем две переменные величины xn и yn, имеющие пределы а и b, причем xn= yn для всех n, то a=b. Справедл-ть этой т. вытекает из того, что xn и yn по существу обозначают одну перем-ю, а потому в силу единств-ти предела a=b. 3. если имеем 2 перем-е величины xn и yn, имеющие пределы а и b, причем xn£ yn для всех n, то a£b. Пусть дано метрич-е прост-во Х с метрикой r(x,y) и послед-ть хnÎX. О: точка аÎХ наз-ся пределом послед-ти (хn) ("e>0) ($N) ("n) (n>N =>r(xn,a)<e), тогда запис-т
;
. Послед-ть хn сходящ-ся в точке а. О: т-ка а явл-ся предельной точкой множ-ва Е ó, когда $ послед-ть точек из Е хn¹a, сходящ-ся к а. О: послед-ть хn точек метрич-го прост-ва Х наз-ся фундаментальной, если ("e>0) ($N) ("m,n) (m>N, n>N =>r(xm,xn)<e), т.е. r(xm,xn)®0 при m,n®¥ (по мере увеличения номеров послед-ти, расстояние м/у членами послед-ти уменьшается). Т: если послед-ть хn сходится, то она фундаментальна. Фунд-ть есть необходимое условие сходимости. О: метрическое пр-во Х наз-ся полным, если в нем каждая фунд-ая посл-ть сх-ся к точке пр-ва Х. Т (критерий Коши): для того, чтобы посл-ть хn точек полного метр-го прост-тва Х сходилось, необх. и дост-но, чтобы она была фунд-ной. Геом-я интерпретация: в любую сколь угодно малую e - окрестность а попадет ¥ много членов данной посл-ти (так для "e), вне этой окр-ти, всегда будет конечное мн-во членов. ; Док-во: "e>0 … N=?; ; ; ; Т: если послед-ть имеет конечный предел, то она ограничена (обратное не верно пр: хn=(-1)n). Д-во: пусть хn®a. По опр предела это означает, ("e>0) ($N) ("n) (n>N - т.е. начиная с n0=N+1) (|xn-a|<e) или (a-e<xn<a+e). Получили, что мн-во знач-й хn, начиная с n0=N+1, ограничена. Следовательно хn - ограничена по т (если мн-во значений хn начиная с некоторого значения n, ограничено, то хn является огр-ой величиной). Т: монот-о возраст-я (убыв-я) и огран-я сверху (снизу) послед-ть сх-я (имеет предел). Утв: если посл-ть {an} имеет своим пределом число а, то выделенная из нее любым способом подпосл-ть {akn}также будет иметь своим пределом число а. Т: из всякой огран-й посл-ти м-о выделить сход-юся подпосл-ть. Т1: если посл-ти xn и yn имеют конечные пределы, то сумма и разность этих посл-тей также имеют конечные пределы, причем lim(xn+yn)=limxn+limyn. lim(xn-yn)=limxn-limyn. Др словами: предел алгеб-й суммы 2-х посл-тей, имеющих конечные пределы, равен алг-й сумме пределов этих посл-тей. Т2: если посл-ти xn и yn имеют конечные пределы, то их произв-е также имеет предел, причем lim(xn*yn)=limxn*limyn.(произв-е пределов этих переменных). Т3: если посл-ти xn и yn имеют конечные пределы, причем limyn¹0, то их частное xn/yn имеет также предел, причем lim(xn/yn)=limxn/limyn. Геом-й смысл:
Пр: lim 1/n=0, lim n!= ¥, lim (-1)n-не сущ., lim 2n-1/n+1=2. , Док-во:
, выполняется за счет выбора n. Функц-ная послед-ть – члены – ф-и, определенные на некотором мн-ве. Если м-во фиксировано, то функц. ряд превр-ся в числовой ряд. Предел функц. посл-ти в общем случае является ф-й: lim fn(x)=f(x). Напр, fn(x)=x/(1+n2x5) сх-я к f(x)=0, т.к. для любого фиксир-го х (не ноль) знаменатель стремится к ¥ при n->¥. fn(0)=0.
|