Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Функции нескольких переменныхОпределение f нескольких переменных дается как отображение множества точек n-мерного Евклидова пространства во множество R).
2. Примеры:
3. Понятие графика f 2-х переменных, примеры. Пусть задана ф. z=f(x,y) в D. Взяв " т. M0(x0,y0)ÎD, можно найти z0=f(x0,y0) и в 3-х мерном пространстве построить точку k(x0,y0,z0). Множество всех этих точек – график функции z=f(x,y). На практике графики строят методом сечения. Для этого фиксируется какое-то значение одной переменной (т.е. фиксируется плоскость || одной из коорд. плоскостей) и рассматривается уравнение z=f(x,y) при этом фиксированном значении. Это уравнения одной переменной, график – обычная линия. Исследуя эти линии выдел общий вид графика ф. z=f(x,y). Пример: z=x2+y2, x=0®z=y2 – парабола, y=0®z=x2 – парабола, z=0® x2+y2=0 - окружность, z<0 – нет, z=r2® x2+y2=z2. (параболоид вращения) (рисунок) Графиком f 2-х перем. обычно является поверхность. def: Графиком f n-перем. u=f(x1…xn) наз. мн-во точек k(x1…xn)ÎRn+1.
4. Непрерывность и предел функции нескольких переменных.
5. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Пусть задана ф. z=f(x,y) в D и М – внутр. точка D.
Придадим величинам x и y приращения Dx и Dy, так чтобы P(x+Dx,y+Dy)ÎD, тогда ф. получит прир. которое называется полным приращением. Df(x,y)= f(x+Dx,y+Dy)-f(x, y). Если одно из значений аргумента осталось неизменным (Dx=0 или Dy=0), то получим частные приращения ф. Dxf(x,y)= f(x+Dx,y)-f(x, y), Dyf(x,y)= f(x,y+Dy)-f(x, y). def: Частной производной – ф. z=f(x,y) по переменной x наз. lim(Dx®0)DxZ/Dx. Обозн: Zx’, fx’(x,y), ¶Z/¶x, ¶f/¶x. Аналогично для y. Символ ¶Z/¶x нельзя рассм. как дробь, в отличие от dy/dx, который рассм. как отношение 2-х дифференциалов. Все правила дифференцирования ф1п. остаются справедливы. Примеры. Геом. смысл частных производных. Пусть задана ф. z=f(x,y) в D. Зафиксируем x=x0.
Пусть т. M0(x0,y0)ÎD на графике соотв. т. k(x0,y0,z0), z0=f(x0,y0). Проведем плоскость x=x0 || yoz. Она перес. Поверхность по некоторой прямой прох. ч/з т. k. Уравнения этой кривой { z=f(x0,y), x=x0 }. Это ф1п. Ее производная zy’(x0,y0) равна угловому коэф. касат. в т. k т.е = tga. А это и есть частная производная ф.
def: Ф. z=f(x,y) наз. дифференцируемой в т.. M(x,y)ÎD, если ее полное приращение в этой точке представимо в виде: DZ=ADx+BDy+a(Dx, Dy)Dx+b(Dx,Dy) Dy (1) - где A и B – постоянные, a и b - б/м при Dx®0, Dy®0. def: Дифференциалом (полным) дифференцируемой в т.. M(x,y) ф. z=f(x,y) наз. главная линейная относительно приращений аргументов часть приращения функции. Обозн: dZ= ADx+BDy.
6. Связь дифференцируемости с непрерывностью. Т1 (необх. условие диф-ти): Если ф. z=f(x,y) диф-ма в т. М(x,y), то она непрерывна в этой точке. Д-во: т.к. z=f(x,y) диф-ма в точке М, то ее приращение представимо в виде (1). Найдем в этом равенстве предел. , что и означает непрерывность этой ф. в точке М. Теорема необратима. Т2: Если ф. z=f(x,y) диф-ма в т. М(x,y), то в этой точке она имеет частные производные. Д-во: Т.к. ф. диф-ма, то ее приращение имеет вид (1). Dy=0ÞDxZ=ADx+a(Dx,0) Dx, где a(Dx,0)®0 при Dx®0. Поделим на Dx: (DxZ/Dx)=A+a(Dx,0). Найдем: , т.е. $ Zx’=A. Аналогично, Zy’=B. Зам. 1. Полное приращение м/о записать: Зам. 2. Дифференциал м/о записать: Теорема необратима. Т3 (достаточное условие дифференцируемости): Если ф. z=f(x,y) имеет частные производные в некоторой окрестности т. М(x,y), непрерывные в т. М, то ф. диф-ма в этой точке.
|