Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Диференціальні рівняння. Ряди
4.1. Розв’язання диференціальних рівнянь Диференціальним рівнянням називається рівняння, яке позв'язує між собою незалежну змінну , шукану функцію і її похідні або диференціали. Символічно диференціальне рівняння записують:
Порядком диференціального рівняння називається порядок вищої похідної (або диференціала), що входять у дане рівняння. Розв’язком або інтегралом диференціального рівняння називається така функція, що обертає це рівняння в тотожність . Число констант збігається з порядком рівняння. Диференціальним рівнянням першого порядку з відокремлюваними змінними називається рівняння виду
План розв’язання такого рівняння полягає в наступному: а) біля збираємо всі члені, пов'язані з ; б) біля збираємо всі члені, пов'язані з ; в) інтегруємо обидві частини рівняння. Приклад 4.1.1. Знайти розв’язок рівняння . Розв’язання. Запишемо рівняння у вигляді або . Розділимо змінні: . Проінтегруемо обидві частини рівняння: , . Довільна постійна може приймати будь-які припустимі числові значення. Тому для зручності перетворень замість запишемо , тобто або , . Однорідною функцією -го порядку називається функція така, що
Наприклад: – однорідна функція 2-го порядку; – однорідна функція 3-го порядку; – однорідна функція 1-го порядку.
Рівняння виду
де і – однорідні функції того самого порядку, називається однорідним. Однорідне рівняння за допомогою підстановки приводиться до рівняння з відокремлюваними змінними.
Приклад 4.1.2. Знайти загальний розв’язок рівняння . Розв’язання. Зробимо заміну . Знайдемо похідну . Підставимо значення і у рівняння: . Зробимо в рівнянні спрощення: , , , , . Одержали рівняння з відокремлюваними змінними. Розділимо змінні . Проінтегруємо обидві частини рівняння: , , . Визначимо загальний розв’язок вихідного рівняння, тому що , то . Рівняння виду
називається лінійним диференціальним рівнянням першого порядку. Розв’язання лінійного рівняння зводиться до розв’язання двох рівнянь із відокремлюваними змінними, якщо шукану функцію замінити добутком двох допоміжних функцій і , тобто покласти . Тоді і вихідне рівняння має вид:
План розв’язання лінійного рівняння першого порядку: а) вираз при прирівнюємо нулю – це перше рівняння з відокремлюваними змінними, з нього знайдемо функцію ; б) друге рівняння з відокремлюваними змінними – з нього знайдемо функцію ; в) виразимо загальний розв’язок . Приклад 4.1.3. Знайти загальний розв’язок лінійного рівняння . Розв’язання. Припускаємо , тоді . Дане рівняння прийме вид: , . Вираз при прирівняємо нулю . Знаходимо його розв’язок: , звідки . Підставляючи у вихідне рівняння, одержимо рівняння , звідки , або . Інтегруючи, одержуємо . Виходить, шуканий загальний розв’язок можна записати у вигляді: . Лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами має вигляд:
де і – числа. Для знаходження загального розв’язку такого рівняння часткові розв’язки знаходять у вигляді , у результаті чого одержують і розв’язують відповідне характеристичне рівняння щодо змінної :
При розв’язання характеристичного рівняння можливі три випадки: Випадок 1. , характеристичне рівняння має два різних дійсних корені і . Загальний розв’язок диференціального рівняння має вигляд:
де і – довільні постійні. Випадок 2. , характеристичне рівняння має два однакових дійсних корені . Загальний розв’язок диференціального рівняння має вигляд:
де і – довільні постійні. Випадок 3. , коріннями характеристичного рівняння є комплексні числа . Загальний розв’язок диференціального рівняння має вигляд:
де і – довільні постійні. Приклад 4.1.4. Знайти загальний розв’язок рівняння . Розв’язання. Складемо характеристичне рівняння і знайдемо його корінь (за формулою 4.1.8): , , , . Запишемо загальний розв’язок даного рівняння: . Приклад 4.1.5. Знайти загальний розв’язання рівняння . Розв’язання. Складемо характеристичне рівняння і знайдемо його корінь (за формулою 4.1.9): , , . Запишемо загальний розв’язок даного рівняння: . Приклад 4.1.6. Знайти загальний розв’язок рівняння . Розв’язання. Складемо характеристичне рівняння і знайдемо його корінь (за формулою 4.1.10): , , , , . Запишемо загальний розв’язок даного рівняння: .
|