Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Проекция вектора на координатные оси. Направляющие косинусы вектораРассмотрим вектор плоскости , заданный своими координатами в ортонормированном базисе . Для удобства я отложу его от начала координат: Проекцией вектора на координатную ось является в точности его первая координата: (красная черта). Обозначим через угол между вектором и координатным вектором : (красная дуга). Тогда: Аналогично со второй координатой: проекцией вектора на координатную ось является его вторая координата: (малиновая черта). Обозначим через угол между вектором и координатным вектором : (двойная малиновая дуга). Тогда: Косинусы называются направляющими косинусами вектора. Причём, для любого ненулевого вектора справедливо равенство . Проверим его справедливость для рассматриваемого вектора: Заметьте, что приведённые выше выкладки не изменятся, если вектор отложить от любой другой точки плоскости. Итак, координаты вектора в ортонормированном базисе – это его проекции на направления соответствующих координатных векторов (координатные оси). Направляющие косинусы ненулевого вектора , заданного в ортонормированном базисе , выражаются формулами , а сами координаты вектора можно выразить через его длину и данные косинусы: , то есть: . Кроме того, вектор с координатами из соответствующих направляющих косинусов: – коллинеарен исходному вектору «вэ»; – его длина равна единице (так называемый единичный вектор). С пространственными векторами, заданными в ортонормированном базисе , разборки точно такие же. Рассмотрим произвольный ненулевой вектор . Его координаты представляют собой проекции вектора на оси соответственно. Обозначим углы данного вектора с ортами через: . Тогда направляющие косинусы вектора выражаются формулами: , и справедливым является равенство . В практических задачах чаще всего требуется найти направляющие косинусы вектора, заключительный пример урока: Пример 20 Найти направляющие косинусы векторов: Простая задача для самостоятельного решения. Фактически, она состоит в том, чтобы найти длину векторов и составить эти самые направляющие косинусы. Однако не забывайте, что вместе с направляющими косинусами нам автоматически становятся известными единичные векторы, которые коллинеарны векторам «а» и «бэ». К слову, практическая задача на нахождения единичного вектора рассмотрена в Примере №5 урока Уравнение плоскости. Ну а здесь решение и ответ совсем близко. После изучения данного урока, у вас уже весьма приличная подготовка по аналитической геометрии. Чтобы паззл сложился окончательно, читайте статьи Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов и Векторное и смешанное произведение векторов. Любите векторы, и векторы полюбят вас! Решения и ответы: Пример 2: Решение: Пример 4: Решение: Пример 6: Решение: Пример 7*: Решение: Используем формулу . Пример 10: Решение: Пример 12: Решение: Составим и решим уравнение: Пример 14: Решение: Пример 17: Решение: Найдем векторы Пример 19: Решение: Найдём векторы: Пример 20: Решение: Ответ: Автор: Емелин Александр
Высшая математика для заочников и не только >>> (Переход на главную страницу) Как можно отблагодарить автора?
Линейная зависимость и линейная независимость векторов.
В аудитории находится тележка с шоколадками, и каждому посетителю сегодня достанется сладкая парочка – аналитическая геометрия с линейной алгеброй. В данной статье будут затронуты сразу два раздела высшей математики, и мы посмотрим, как они уживаются в одной обёртке. Сделай паузу, скушай «Твикс»! …блин, ну и чушь спорол. Хотя ладно, забивать не буду, в конце концов, на учёбу должен быть позитивный настрой. Линейная зависимость векторов, линейная независимость векторов, базис векторов и др. термины имеют не только геометрическую интерпретацию, но, прежде всего, абстрактный алгебраический смысл. Само понятие «вектор» с точки зрения линейной алгебры – это далеко не всегда тот «обычный» вектор, который мы можем изобразить на плоскости или в пространстве. За доказательством далеко ходить не нужно, попробуйте нарисовать вектор пятимерного пространства . Или вектор погоды, за которым я только что сходил на Гисметео: – температура и атмосферное давление соответственно. Пример, конечно, некорректен с точки зрения свойств векторного пространства, но, тем не менее, никто не запрещает формализовать данные параметры вектором. Дыхание осени…. Нет, я не собираюсь грузить вас теорией, линейными векторными пространствами, задача состоит в том, чтобы понять определения и теоремы. Новые термины (линейная зависимость, независимость, линейная комбинация, базис и т.д.) носят общий алгебраический смысл (к которому можно причаститься в статье о ранге матрицы), но примеры будут даны геометрические. Таким образом, всё просто, доступно и наглядно. Помимо задач аналитической геометрии мы рассмотрим и некоторые типовые задания линейной алгебры. Для освоения материала желательно ознакомиться с уроками Векторы для чайников и Как вычислить определитель?
|