Динаміка коливального руху

Диференціальне рівняння гармонічних вільних коливань:

m ^.x^'' = - k ^. x, або x^''' + х = 0,

m – маса тіла,

k – коефіцієнт квазіпружної сили,

= k/m – власна частота гармонічних коливань.

Повна енергія: E = E_n + E_k = E_nmax = E_kmax

E_n = k ^. x²/2 = k ^. A^{2 .} sin²()/2,

E_k = m ^. V²/2 = m ^. A^{2 . .} cos²()/2,

E_nmax = k ^. A²/2, E_kmax = m ^. A^{2 . 2}/2.

Періоди коливань:

пружинного маятника Т = 2 ^{. .} ,

математичного маятника Т = 2 ^{. .} ,

де l – довжина математичного маятника,

фізичного маятника Т = 2 ^{. .}

де I – момент інерції маятника відносно його осі обертання,

m – маса тіла,

а – відстань від центра мас тіла до осі обертання маятника.

Диференціальне рівняння загасаючих коливань:

m ^. x^'' = - k ^. x - r ^. , або x^'' + 2 ^{. .} + х = 0,

= r/2m – коефіцієнт загасання.

Рівняння загасаючих коливань:

x = A(t)^. cos( t + ),

A(t) = А₀^. e ^- ,

А₀ - амплітуда в момент часу t = 0.

= ln = Т – логарифмічний декремент загасан­ня.

A(t) та A(t+T) – амплітуди двох послідовних коливань, які відстоять по часу одне від одного на період.

Диференціальне рівняння вимушених коливань:

m ^. x^'' = - k ^. x - r ^. + F₀^. cos t,

або

x^'' + 2 ^{. .} + х = f₀^. cos t,

F₀ ^. cos t – зовнішня періодична сила, яка викликає вимушені коливання.

А = f₀/ - амплітуда вимушених коливань,

_рез = - резонансна частота,

А _рез = f₀/(2^{. .} ) – резонансна амплітуда.

Добротність Q = = /N_е,

N_е – число коливань за час, коли амплітуда зменшується в е разів.

- час релаксації (час, за який амплітуда зменшується в е разів).