Общая методика решения

После того как выбран вид аппроксимирующей функции (или эта функция задана) и, следовательно, определена функциональная зависимость (1), необходимо найти в соответствии с требованиями МНК значения параметров С₁, С₂, …, С_m. Как уже указывалось, параметры должны быть определены таком образом, чтобы значение критерия в каждой из рассматриваемых задач было наименьшим по сравнению с его значением при других возможных значениях параметров.

Для решения задачи подставим выражение (1) в соответствующее из выражений и проведем необходимые операции суммирования или интегрирования (в зависимости от вида I). В результате величина I, именуемая в дальнейшем критерием аппроксимации, представляется функцией искомых параметров

(2)

Последующее сводиться к отысканию минимума этой функции переменных С_k; определение значений С_k=C_k ^*, к=1,m, соответствующих этому элементу I, и является целью решаемой задачи.

Типы функций Таблица 1

Вид функции	Название функции
Y=C1+C2·x	Линейная
Y=C1+C2·x+C3·x2	Квадратичная (параболическая)
Y=	Рациональная (полином n-й степени)
Y=C1+C2·	Обратно пропорциональная
Y=C1+C2·	Степенная дробно-рациональная
Y=	Дробно-рациональная (первой степени)
Y=C1+C2·XC3	Степенная
Y=C1+C2·aC3·x	Показательная
Y=C1+C2·logax	Логарифмическая
Y=C1+C2·Xn (0<n<1)	Иррациональная, алгебраическая
Y=C1·sinx+C2cosx	Тригонометрические функции (и обратные к ним)

Возможны следующие два подхода к решению этой задачи: использование известных условий минимума функции нескольких переменных или непосредственное отыскание точки минимума функции каким – либо из численных методов.

Для реализации первого из указанных подходов воспользуемся необходимым условием минимума функции (1) нескольких переменных, в соответствии с которыми в точке минимума должны быть равны нулю частные производные этой функции по всем ее аргументам

Полученные m равенств следует рассматривать как систему уравнений относительно искомых С₁, С₂,…, С_m. При произвольном виде функциональной зависимости (1) уравнения (3) оказывается нелинейным относительно величин C_k и их решение требует применение приближенных численных методов.

Использование равенства (3) дают, лишь необходимые, но недостаточные условия минимума (2). Поэтому требуется уточнить, обеспечивают ли найденные значения C_k ^* именно минимум функции . В общем случае такое уточнение выходит за рамки данной курсовой работы, и предлагаемые для курсовой работы задания подобраны так, что найденное решение системы (3) отвечает именно минимуму I. Однако, поскольку величина I неотрицательна (как сумма квадратов) и нижняя её граница есть 0 (I=0), то, если существует решение системы (3) единственно, оно отвечает именно минимуму I.

При представлении аппроксимирующей функции общим выражением (1) соответствующие нормальным уравнениям (3) оказываются нелинейными относительно искомых С_к. их решение может быть сопряжено со значительными трудностями. В таких случаях предпочтительным являются непосредственный поиск минимума функции в области возможных значений ее аргументов С_к, не связанный с использованием соотношений (3). Общая идея подобного поиска сводиться к изменению значений аргументов С_к и вычислению на каждом шаге соответствующего значения функции I до минимального или достаточно близко к нему.