Теория течения в приращениях и перемещениях

В случае, когда механические свойства металлов зависят не от скорости деформации, а от величины самой деформации, то кинематические уравнения теории деформированного состояния целесообразно составить в приращениях перемещений.

Рассмотрим некоторый момент времени t. Введем как параметр бесконечно малый и достаточный, для того чтобы теория была точной, промежуток времени dt. За этот отрезок времени частица материала в произвольной точке деформируемого тела получила приращение перемещения

Если повторить все выкладки, выполненные ранее, но для приращения перемещений, то можно показать, что деформированное состояние в окрестности точки будет характеризоваться симметричным тензором бесконечно малого приращения деформации

, (2.20)

где

(2.21)

Кроме того, частицы окрестности произвольной точки получат поступательное смещение на величину и поворот, тензор которого имеет компоненты

(2.22)

Тензор , записанный относительно главных приращений деформаций имеет вид

(2.23)

Правило присвоения индексов главным приращениям деформаций остаётся прежним

.

Тензор приращения деформаций имеет три инварианта, значения которых легко получить из инвариантов тензора заменой соответствующих компонентов .

Первый инвариант выражает изменение приращения объема

(2.24)

Девиатор приращения деформации определен так

(2.25)

Его компоненты равны

(2.26)

Девиатор приращения деформации имеет свои инварианты. Так второй инвариант имеет вид

(2.17)

Важное значение имеет интенсивность приращения степени деформации сдвига

(2.28)

Если материал несжимаем и =0, то справедлива формула

(2.29)

Как видно из изложенного, между теорией деформированного состояния в скоростях течения и в приращениях перемещений имеет место полная аналогия. Следуя этому, всегда можно дополнить рассмотренную теорию недостающими уравнениями.

Рассмотрим, далее, бесконечно малый промежуток времени dt. Величина dt играет роль параметра

(2.30)

Следовательно, из формулы (2.29) вытекает

, (2.31)

где =0.

При движении частицы в поле тензора будет накапливаться деформация. Величина определяемая формулой

, (2.32)

в которой интегрирование производится вдоль траектории движения частицы, называется степенью деформации сдвига.